Jump to content


Photo
- - - - -

Besmisao aksioma (van matematike)


  • Please log in to reply
30 replies to this topic

#1 Schrodinger

Schrodinger
  • Members
  • 10,006 posts

Posted 27 November 2012 - 00:18

Dakle, inspirisan DASUBO-vim autenticnim biserom, a da ne bismo vodili raspravu na Biserima o tome, a posto je stvar od sireg znacaja i cesto dovodi do konfuzija (posebno u medijima, gde nadlezna licu nisu culi ni za "e" od epistemologije), ovo je pravo mesto da nastavimo.

Povod je bilo ovo:

Navika potekla iz bavljenja prirodnim naukama je da kad želiš da argumentovano dokažeš nešto, treba da koristiš aksiome. Aksiom u politici je zakon, a najviši zakon je Ustav.


Zanemarimo sad ovaj politicki dodatak (mislim da je lisen smisla, ali to je sasvim treca prica). Ovo prvo je indikativno. Nastava prirodnih nauka u nasim krajevima ocigledno je na apsolutnoj nuli kad ljude ne nauce da u prirodnim naukama jednostavno nema aksioma. Oni postoje samo u matematici, koja moze da bude sve i svasta, ali sasvim sigurno nije prirodna nauka, jer nijedan matematicki objekat (skup, broj, tacka, prava, dodekaedar, isl. itd.) ne postoji u prirodi. I to se zna unazad vec par hiljada godina. Prirodne nauke su: fizika, astronomija, geologija, biologija, itd. isl. Ima li u njima aksioma (dakle neupitnih istina koje se ne dokazuju)? Tesko. Kadgod su neki ljudi pokusavali da u njih unesu aksiomatske tvrdnje - nisu ih cak ni oni tako nazivali, treba naglasiti - to se zavrsavalo ociglednim fijaskom. Dobar primer je tvrdnja u aristotelovsko-ptolomejskoj astronomiji da se sva nebeska tela okrecu oko svog prirodnog tezista, tj. oko Zemlje. To se smatralo aksiomom skoro dve hiljade godina i nije donelo neko preterano dobro. Slicno je, npr. dugo vremena u geo-naukama bio "aksiom" da su svi dogadaji u proslosti bili posledica procesa koje posmatramo u sadasnjosti ekstrapoliranih na dugacke geoloske vremenske skale. Sto bi Carls Lajel rekao, "sadasnjost je kljuc proslosti". Pa se i to ispostavilo kao pogresno, ne samo sto su se nekada desavali dogadjaji koji se vise nikada i nigde ne ponavljaju, vec je ekstrapolacija iz sadasnjosti dovodila do velikih i teskih gresaka i dogmatskih zabluda.

Izuzetak od ovoga moze eventualno da bude - ali samo povrsno, novinarski govoreci - kada se neka teorija u prirodnim naukama u toj meri poistoveti sa matematickim formalizmom koji koristi, da onda ljudi mahinalno pocinju da je smatraju matematickom ili polu-matematickom konstrukcijom. Tako je klasicna Njutnova mehanika bila za izvodjenje konkretnih rezultata zavisna od euklidske geometrije (za vektorsku reprezentaciju sila) i diferencijalno-integralnog racuna, a posto ove oblasti matematike pocivaju na aksiomima geometrije odn. realne analize, onda se indirektno moze tvrditi da su ovi aksiomi i u temelju klasicne mehanike. Ovo je vise "pesnicka sloboda" u tumacenju nego uvid u stvarnu epistemologiju. Naime, Njutn je naravno prvo razumeo fizicku situaciju i odnose u stvarnom materijalnom svetu, a tek posle trazio odgovarajuci kvantitativni model. Da je to tako pokazuje i istorijska cinjenica da je Elie Cartan negde u 1930-tim godinama dao ekvivalentnu formulaciju celokupne klasicne mehanike na bazi diferencijalne geometrije, dakle u potpuno drugacijem matematickom formalizmu; Cartanova formulacija je jako komplikovana i neprakticna, ali je saznajno u potpunosti ekvivalentna onome sto se uci po skolama. Vec to je dovoljno da pokaze da rezultati u fizici - kao uostalom ni u biologiji, geohemiji, itd. - ne mogu zavisiti od konvencionalno prihvacenih aksioma ni u jednoj oblasti matematike (sem logike, naravno, ako je smatramo delom matematike).

Da li to onda znaci da u prirodnim naukama nista ne moze da se dokaze? Naravno da ne, zato sto je u prirodnim naukama struktura dokaza drugacija nego u matematici! I to se znalo jos u pred-pozitivisticko doba, jos u 19. veku. Dokazi u prirodnim naukama nikada nisu u potpunosti deduktivni vec se pozivaju na nase empirijsko znanje i upravo odatle proistice istinitost - ili odsustvo iste - rezultata prirodnih nauka. Zato je znanje u prirodnim naukama uvek manje pouzdano nego u matematici - ali to je nesto sa cim smo valjda od renesanse naovako naucili da zivimo.

Bottom line: u prirodnim naukama ne postoje neupitne istine. I to je jako dobro, zapravo to i jeste njihova najveca prednost. Stoga je pozivanje na neupitnost prirodnih nauka i njihove nepostojece aksiome nuzno (svesna ili nesvesna) demagogija.

#2 mrd

mrd
  • Members
  • 12,968 posts

Posted 27 November 2012 - 01:53

Bolje je imati izbor, nego nemati. :)

#3 Kido from Junkovac

Kido from Junkovac
  • Members
  • 2,846 posts

Posted 27 November 2012 - 06:14

Verovatno je u matematici striktnija struktura ' neupitnih istina'. Mozda ih ima u prirodnim naukama ako prihvatimo
da prirodni zakoni postoje i da su konzistentni. Ovde nisam u sukobu sa kvantnom mehanikom, jer je i ona samo model.
bez obzira po kom modelu posmatramo pitanje gravitacije i ostalih prirodnih sila, one su tu i deluju.
(Dawkins ce reci (kad bi se on pitao sta je to aksiom) da je i neprekidno delovanje prirodne selekcije neupitno. Smolin je cak to primenio
i na galaksije i evoluciju univerzuma.)
Tesko je ovo pitanje. Treba ga posmatrati izvan svih nasih modela i teorija i bez indukcije i dedukcije.

#4 Oddball

Oddball
  • Members
  • 41,309 posts

Posted 27 November 2012 - 08:37

Da li to onda znaci da u prirodnim naukama nista ne moze da se dokaze? Naravno da ne, zato sto je u prirodnim naukama struktura dokaza drugacija nego u matematici! I to se znalo jos u pred-pozitivisticko doba, jos u 19. veku. Dokazi u prirodnim naukama nikada nisu u potpunosti deduktivni vec se pozivaju na nase empirijsko znanje i upravo odatle proistice istinitost - ili odsustvo iste - rezultata prirodnih nauka. Zato je znanje u prirodnim naukama uvek manje pouzdano nego u matematici - ali to je nesto sa cim smo valjda od renesanse naovako naucili da zivimo.


Fajnman ima jednu sjajnu knjigu koja govori o ovim stvarima o kojima je Šred pisao. Jako davno sam to čitao ali čini mi se da je naslov u prevodu bio "O osobinama zakona fizike". Kao teorijski fizičar on se tu naravno koncetrisao na fiziku mada sve rečeno može da važi za bilo koju prirodnu nauku.

Koliko se može govoriti o "smislu" aksioma i u samoj matematici, posmatranoj izdvojeno, nakon Kurta Gedela i njegove teoreme o nekompletnosti?

#5 Tarmi

Tarmi
  • Members
  • 1,377 posts

Posted 27 November 2012 - 14:06

uzmimo za primer 5 euklidova postulata na kojima se zasnivala geometrija. peti aksiom kaže da za proizvoljnu pravu l i proizvoljnu tačku P koja joj ne pripada, postoji samo jedna prava koja ne seče pravu l, tj. koja joj je paralelna.

onda se desilo ovo:

Posted Image



tj. jedan novi svet, nastao "ni iz čega", prostim zakrivljenjem prostora, tj. svet koji postoji izvan dohvata našeg iskustva i čula.

tako smo dobili neeuklidske geometrije (prema kojima postoje dve ili više pravih koje prolaze kroz tačku P i koje su paralelne sa l; ili čak ni jedna u sfernoj geometriji) i apsolutnu geometriju - u kojoj postulati (aksiomi) važe i u euklidskoj i neeuklidskoj geometriji.

ali apsolutna geometrija je nepotpuna, tj. zasniva se na nepotpunom aksiomatskom sistemu.

ah, taj hegel...

Edited by Tarmi, 27 November 2012 - 14:34.


#6 Schrodinger

Schrodinger
  • Members
  • 10,006 posts

Posted 27 November 2012 - 14:41

Aman, cemu sad opet Hegel i kakve on veze ima sa neeuklidskim geometrijama? Ako ista, taj filozofski hohstapler (nisam ga ja tako nazvao, vec jedan njegovm savremenik, mnogo znacajniji - ili bar zabavniji - filozof) je u svom ekstremnom konzervativizmu mogao samo da negira realnost drugih aksiomatskih sistema...

#7 Schrodinger

Schrodinger
  • Members
  • 10,006 posts

Posted 27 November 2012 - 14:45

Fajnman ima jednu sjajnu knjigu koja govori o ovim stvarima o kojima je Šred pisao. Jako davno sam to čitao ali čini mi se da je naslov u prevodu bio "O osobinama zakona fizike". Kao teorijski fizičar on se tu naravno koncetrisao na fiziku mada sve rečeno može da važi za bilo koju prirodnu nauku.

Sjajna knjiga, secam se jednog starog, belog izdanja zagrebacke Skolske knjige...


Koliko se može govoriti o "smislu" aksioma i u samoj matematici, posmatranoj izdvojeno, nakon Kurta Gedela i njegove teoreme o nekompletnosti?

Rekao bih da ima isto kao i ranije, jedino sto smo sveukupno utvrdili da bilo koji formalni sistem nije ono sto smo ranije zamisljali ("dat od Boga", itd.). Ali matematika i ne moze da funkcionise drugacije nego kao formalni sistem. To sto ce jedan deo problema ostati neresen unutar zadatog formalnog sistema moze samo da motivise ljude da menjaju ili dopunjavaju formalni sistem. Ali tesko da ce se ikada pojaviti neki sasvim novi nacin dolazenja do matematickih istina koji nije formalne prirode...

#8 Johanna92

Johanna92
  • Banned
  • 597 posts

Posted 30 November 2012 - 02:54

Aksiome i osnovni objekti u matematici su nastali zbog problema 'prvog dogadjaja', tj. tvrdjenja ili objekata koji su polazni i koji se ne definisu/ne dokazuju. Radi se o cisto apstraktnim pojmovima, cija uloga zavisi od sistema koji je postavljen, a ne od posmatranja prirodnih pojava. Recimo, aksiome kao 'postoji samo jedna prava koja sadrzi dve odredjene tacke' ili sam pojam prave i tacke, su konstrukti nastali u ljudskom umu, i kao sto je Schrodinger (forumas) rekao, zato matematika nije prirodna nauka.

uzmimo za primer 5 euklidova postulata na kojima se zasnivala geometrija. peti aksiom kaže da za proizvoljnu pravu l i proizvoljnu tačku P koja joj ne pripada, postoji samo jedna prava koja ne seče pravu l, tj. koja joj je paralelna.

onda se desilo ovo:



tj. jedan novi svet, nastao "ni iz čega", prostim zakrivljenjem prostora, tj. svet koji postoji izvan dohvata našeg iskustva i čula.

tako smo dobili neeuklidske geometrije (prema kojima postoje dve ili više pravih koje prolaze kroz tačku P i koje su paralelne sa l; ili čak ni jedna u sfernoj geometriji) i apsolutnu geometriju - u kojoj postulati (aksiomi) važe i u euklidskoj i neeuklidskoj geometriji.

ali apsolutna geometrija je nepotpuna, tj. zasniva se na nepotpunom aksiomatskom sistemu.

ah, taj hegel...


Iz nekog razloga ne mogu da vidim sliku koju si postavio, ali nema veze. Ovo podvuceno nije dobro definisano, u analogiji sa drvecem, apsolutna geometrija bi bila stablo, a neeuklidske geometrije (hiperbolicka i elipticka), su stablo i odredjene grane, bas kao i euklidska.

Edited by snowflake, 30 November 2012 - 02:54.


#9 Tarmi

Tarmi
  • Members
  • 1,377 posts

Posted 30 November 2012 - 14:59

Ovo podvuceno nije dobro definisano, u analogiji sa drvecem, apsolutna geometrija bi bila stablo, a neeuklidske geometrije (hiperbolicka i elipticka), su stablo i odredjene grane, bas kao i euklidska.


to je sada već metafizika. :)

jer mi možemo intuitivno da pretpostavimo da je stablo oduvek bilo tu, ali mi smo drvo otrkili preko grana, a ne stabla. 


Edited by Tarmi, 30 November 2012 - 15:01.


#10 Johanna92

Johanna92
  • Banned
  • 597 posts

Posted 03 December 2012 - 01:14


to je sada već metafizika. :)

jer mi možemo intuitivno da pretpostavimo da je stablo oduvek bilo tu, ali mi smo drvo otrkili preko grana, a ne stabla. 

 

Ovo je vise pitanje istorije matematike, u Antickoj Grckoj su probali da postave sistem tvrdjenja koje ne bi mogli da dokazuju pomocu ostalih, kasnije su pokusavali da dokazu da je i postulat o paralelama osnovno tvrdjenje, neki su se setili da pretpostave suprotno, i iz tog stabla je izrasla nova grana, odnosno grane koje ti pominjes. Kako onda kazes da 'smo poceli' od grana? 



#11 Hill Bill

Hill Bill
  • Members
  • 6,914 posts

Posted 03 December 2012 - 03:07


to je sada već metafizika. :)

Nije sada. Oduvek je metafizika i nastajala dodavanjem dimenzija u kojima aksiomi više ne važe. Kad ubaciš "dimenziju" zvanu vreme, svi aksiomi padaju, dobijaš gomilu nedefinisanih, neodređenih stanja, sve relativno, prostor se krivi ...

 

Neki su to prosto postizali konzumiranjem izvesnih gljiva ... a prost puk je tumačio halucinacije tih šamana kao mudros.



#12 mrd

mrd
  • Members
  • 12,968 posts

Posted 03 December 2012 - 03:47

Nije sada. Oduvek je metafizika i nastajala dodavanjem dimenzija u kojima aksiomi više ne važe. Kad ubaciš "dimenziju" zvanu vreme, svi aksiomi padaju, dobijaš gomilu nedefinisanih, neodređenih stanja, sve relativno, prostor se krivi ...

 

Neki su to prosto postizali konzumiranjem izvesnih gljiva ... a prost puk je tumačio halucinacije tih šamana kao mudros.

Koji aksiomi padaju? Kako mislis da se sve krivi, kad se vreme uvede u razmatranje?



#13 Hill Bill

Hill Bill
  • Members
  • 6,914 posts

Posted 03 December 2012 - 04:30

Koji aksiomi padaju? Kako mislis da se sve krivi, kad se vreme uvede u razmatranje?

 

Ako sam replicirao Tarmiju, onda se odnosi na njegov primer i post. Ako već nešto tako jednostavno ne možeš da pretpostaviš, nema smisla objašnjavati ti drugo; ni u ove pozne sate, niti u bilo kom drugom pojedinačnom trenutku. Vidiš, opet vreme.



#14 mrd

mrd
  • Members
  • 12,968 posts

Posted 03 December 2012 - 04:32

Ako sam replicirao Tarmiju, onda se odnosi na njegov primer i post. Ako već nešto tako jednostavno ne možeš da pretpostaviš, nema smisla objašnjavati ti drugo; ni u ove pozne sate, niti u bilo kom drugom pojedinačnom trenutku. Vidiš, opet vreme.

Ja sam te lepo pitao kako to mislis "krivi se sa vremenom." Ali dobro u bilo koje "vreme" boranija je boranija. To je totalna aksioma.

 

Bice da je sve krivo kao boranija.



#15 Tarmi

Tarmi
  • Members
  • 1,377 posts

Posted 03 December 2012 - 13:24

Ovo je vise pitanje istorije matematike, u Antickoj Grckoj su probali da postave sistem tvrdjenja koje ne bi mogli da dokazuju pomocu ostalih, kasnije su pokusavali da dokazu da je i postulat o paralelama osnovno tvrdjenje, neki su se setili da pretpostave suprotno, i iz tog stabla je izrasla nova grana, odnosno grane koje ti pominjes. Kako onda kazes da 'smo poceli' od grana?

 


pa lepo. probaću sad da objasnim malo opširnije za ljude sa jevtinijim ulaznicama.



mi nismo znali za drugu geometriju do euklidske. euklid nam je ostavio aksiomatski sistem koji je koherentan i kompletan. to praktično znači da su svi euklidovi aksiomi međusobno nezavisni (nijedan od aksioma nije izveden iz drugoga), da iz tih osnovnih aksioma dedukcijom nije moguće izvesti druge teoreme ili aksiome koji bi bili u međusobnoj kontradikciji, te da je zahvaljujući njima moguće dokazati istinitost ili neistinitost svakog iskaza.

e sad, lepo si rekla: mnogi su pokušali da dokažu da je V postulat (koji kaže da kroz tačku P prolazi samo jedna paralelna prava) osnovni aksiom. i tim poslom su se ljudi bavili 2000 godina. neki su pokušavali da dokažu da je on izveden iz prvih 4, odnosno da se radi o teoremi, drugi su pokušali da ga dokažu, treći su pokušali da daju bolju definiciju (o ekvidistanci). i šta se sada dešava?

pojavio se neko ko je pretpostavio suprotno: kroz tačku P ne prolazi niti jedna paralelna prava, i kroz tačku P prolazi bezbroj paralelnih pravi. ali šta to znači? to znači da prostom negacijom V postulata dobijamo 2 nove geometrije i 2 nova aksiomatska sistema.

apsolutna geometrija je nastala kao odgovor na fundamentalne probleme euklidske geometrije, odnosno kao pokušaj da se ponudi koherentni i kompletni aksiomatski sistem koji će biti neutralan, tj. koji će u svakoj geomteriji biti validan. taj aksiomatski sistem je podeljen u pet grupa, a svaka grupa aksioma pojedinačno izražava izvesne povezane činjenice našeg opažanja (veza, raspored, itd). dakle, radi se o svojevrsnom konstruktu. vratimo se na analogiju sa drvetom.

ako je geometrija drvo, apsolutna geometrija je stablo iz koje se razvijaju različite grane. ali, ljudi nisu krenuli od stabla, već od "najistinitijeg" sistema - euklidovog, da bi preko njega dijalektičkom metodom došli prvo do neuklidskih geometrija, a zatim i do neke, hajde da je nazovemo tako, istine višega reda.


Edited by Tarmi, 03 December 2012 - 18:05.